Best Of Elektornik
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Z Transformation

Die bisher verwendete Methode erlaubt es nur Differenzialgleichungen in Differenzengleichungen umzubauen und so digitale Filter und Regler zu realisieren. Beim Reglerentwurf benötigt man statt Differenzialgleichungen komplexe übertragungsfunktionen. Diese erhält man bei analogen Systemen mit der Laplacetransformation.

Um digitale Regler entwerfen zu können, benötigt man ebenfalls eine Transformation, die jetzt vom diskreten Zeitbereich in den Frequenzbereich führt.

zeitkontinuirliches Signal durch Abtasten in ein zeitdiskretes Signal umwandeln

Definition

Formel Zeitdiskrete Transformation

Graphische Darstellung von s und z Transformation

Graphische Darstellung von La Place und Z Transformation

Horizontale Bewegungen in der s Ebene werden als radiale Bewegungen in der Z Ebene abgebildet. Vertikale Bewegungen in der S Ebene werden in der Z Ebene als Kreisförmige Bewegungen abgebildet.

Daher erkennt man, dass bei der Z-Transformation nur Frequenzen bis ω0/2 dargestellt werden können. Darüber hinaus wiederholt sich das Spektrum => Beweis des Abtasttheorems.

  • δ<0 => innerhalb des Einheitskreises
  • δ=0 => auf dem Einheitskreis
  • δ>0 => außerhalb des Einheitskreises

Rechenregeln

1. Linearität Linearität Z-Transformation Regel
2. Verschiebungssatz Verschiebungssatz Z-Transformation Regel
3. Zeitumkehr Zeitumkehr Z-Transformation Regel
4. Faltungssatz Faltungssatz Z-Transformation Regel

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