Best Of Elektornik
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Fourier Transformation

Definition

Die Fourierreihe setzt ein periodisches Zeitsignal voraus.

Eine Frequenzdarstellung kann aber auch bei nicht periodischen Signalen interessant sein (Einzelimpuls).

Ein nicht periodisches Signal kann man sich als periodisches Signal vorstellen, dessen Periodendauer T=∞ ist, daher kann man mit nur wenigen änderungen die Fouriertransformation aus der komplexen Darstellung der Fourierreihe ableiten.

Formel Fourier Reihenentwicklung

Änderungen zur Fourier Reihe

  • T=0 => ω0
  • in der Formel für Cn muss man den Faktor 1/T weglassen da sonst die Cn Null werden, damit das Formelpaar wieder zusammenpasst, muss dieser Faktor in der zweiten Formel eingefügt werden.
  • Aus der Summe wird ein Integral
  • n·ω0
  • 1/T => df
  • Cn=>S(ω)

Formel der Fouriertransformation

Formel der Fourierrücktransformation

Interpretation

S(ω) entscheidet sich von Cn dadurch, dass es mit T multipliziert bzw. durch f dividiert wurde. Man nennt S(ω) daher komplexe Spektraldichte.
Eine konkrete Amplitudenaussage über eine Frequenzkomponente liefert erst das Produkt |S(ω)|·Δf (Ein Flächenstück unter der Spektraldichtekurve)

Die Fouriertransformation ist für die Regelungstechnik ungünstig, da:

  • Die Zeit bei -∞ beginnt und die Vergangenheit nicht darstellbar ist.
  • Für wichtige unstetige Funktionen keine geschlossen Lösung möglich ist.
  • Sie nur ein statisches Frequenzspektrum liefert.

Weitere Infos über zur Regelungstechnik finden Sie hier