Best Of Elektornik
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Mathematische Beschreibung:

Die allgemeine mathematische Beschreibung von zeitlichen Vorgängen erfolgt durch Differentialgleichungen

Differentialgleichung

Um das Zeit-Verhalten des Systems zu beschreiben, müssen die Differenzialgleichungen des Systems gelöst werden. Dazu gibt es je nach Art der Differenzialgleichung verschiedenste Lösungsverfahren.
Eine Lösungsmethode macht sich die Tatsache zu nutze, dass alle zeitlichen Vorgänge als überlagerung von Schwingungen unterschiedlicher Frequenz aufgefasst werden können (Fourier).

übertragungsfunktion

Die Spannung wird jetzt nicht mehr als eine Funktion der Zeit betrachtet (uninteressant da Sinusform bekannt), sondern als Funktion der Frequenz (Amplitude und Phase der Sinusschwingung ändern sich mit der Frequenz).

Allgemeiner Lösungsansatz

Eingangssignal Transformieren -> Ausgangssignal

Fourier Reihe

Ist x(t) ein periodisches Signal so kann es durch Fourieranalyse in lauter Sinusförmige Anteile zerlegt werden.

Formel Fourier Reihenentwicklung

Eingangssignal Transformieren -> Ausgangssignal

Formel Fourier Reihenentwicklung

Formel Fourier Reihenentwicklung

Fouriertransformation

Ein nicht periodisches Signal (wie es praktisch vorkommt) kann als periodisches Signal mit Periodendauer unendlich aufgefasst werden. Daher geht ω0 gegen 0 und die Oberschwingungen wandern immer näher zusammen. d.h. das diskrete Spektrum n. ω0 geht in ein kontinuierliches Spektrum über.

Formel fouriertransformation

Rücktransformation

Formel Rücktransformation

Die Fouriertransformation ist für die Regelungstechnik ungünstig, da:

  • Die Zeit bei -∞ beginnt und die Vergangenheit nicht darstellbar ist.
  • Für wichtige unstetige Funktionen keine geschlossen Lösung möglich ist.
  • Sie nur ein statisches Frequenzspektrum liefert.

Deshalb verwendet man eine modifizierte Art, die so genannte Laplace Transformation.

La Place Transformation

Formel La Place Transformation

Rücktransformation

Formel La Place Rücktransformation

Da das Rücktransformationsintegral schwierig zu lösen ist, nutzt man so genannte Korrespondenztafeln, in diesen sind die wichtigsten Grundfunktionen enthalten.

Weitere Infos über zur Regelungstechnik finden Sie hier